구조역학 레포트 - 공업수학의 차원(dimension) 도구 중 하나를 선택하여 효과적인 활용 방안과 그 장점,

I. 서론

구조역학 문제를 풀다 보면 계산보다 식 자체가 이상한 경우가 더 무섭다. 길이와 힘, 밀도, 탄성계수를 한 식에 넣었는데 단위가 맞지 않으면 계산기를 아무리 정확하게 눌러도 답은 틀린다. 학부 수업에서 긴 식을 정리하다가 미터와 밀리미터를 섞어 넣어 값이 크게 달라진 경험이 있었다. 숫자를 다시 확인하기 전에 차원을 비교했더라면 훨씬 빨리 오류를 찾았을 것이다. 공업수학의 차원 도구 가운데 내가 가장 활용 가치가 크다고 보는 것은 버킹엄 파이 정리를 이용한 차원해석이다. 이 도구는 단위 검산에 그치지 않고 많은 변수를 몇 개의 무차원 항으로 줄여 실험과 구조모형, 수치해석 결과를 비교하게 해 준다. 구조역학에서는 식을 푸는 능력만큼 어떤 변수가 문제를 지배하는지 보는 눈이 중요하므로 차원해석이 그 연결고리가 될 수 있다.

II. 본론

1) 복잡한 변수 묶음을 줄이는 버킹엄 파이 정리

차원해석의 출발점은 물리적으로 의미 있는 식이라면 양변의 차원이 맞아야 한다는 원칙이다. 구조역학에서 자주 쓰는 기본 차원은 질량 M, 길이 L, 시간 T로 나타낼 수 있다. 힘은 M L T^-2, 응력과 탄성계수는 M L^-1 T^-2가 된다. 길이 2 m와 힘 3 kN을 그대로 더할 수 없듯이 서로 다른 차원의 항은 같은 물리량으로 합쳐질 수 없다. 이 성질은 식의 형태를 점검하는 가장 빠른 기준이 된다.

버킹엄 파이 정리는 관련된 물리변수가 n개이고 그 변수들이 k개의 독립 기본 차원으로 표현될 때, 관계를 n-k개의 독립적인 무차원 항으로 줄일 수 있다는 내용을 갖는다. 여기서 무차원 항은 단위가 사라지도록 변수들을 곱하고 나눈 조합이다. 예를 들어 한 길이 값을 다른 길이 값으로 나눈 L1/L2는 단위계와 관계없이 같은 비를 갖는다. 힘, 강성, 길이 값을 조합해 단위를 없애는 항도 만들 수 있다. 원래 변수 8개를 하나씩 바꾸며 실험해야 한다면 경우의 수가 빠르게 늘지만, 무차원 항이 5개로 줄면 비교 구조가 훨씬 간단해진다.

이 정리의 힘은 미분방정식을 정확하게 풀지 못하는 상황에서도 변수 관계를 정리할 수 있다는 데 있다. 차원해석은 최종 함수의 구체적인 모양이나 상수를 알아내지는 못한다. 대신 어떤 변수 조합이 결과를 결정하는지 후보를 좁혀 준다. 실험을 설계할 때는 큰 장점이다. 변수 하나씩 임의로 바꾸는 대신 무차원 항의 범위를 정해 실험하면 서로 다른 크기의 모형 결과를 한 그래프에서 비교할 수 있다.

대한기계학회 논문에 발표된 레이저 충격 피닝 연구에서도 버킹엄 파이 이론을 이용해 공정변수 영향을 무차원 변수로 정리하고 유한요소해석 결과와 함께 검토했다. 구조공학과 공정 분야가 같지는 않지만 변수 수를 줄이고 지배 관계를 파악한다는 차원해석의 쓰임은 비슷하다. 해외 구조공학 연구에서도 인접 구조물의 충돌 응답이나 축소 구조모형의 진동 특성을 무차원 항으로 정리하는 접근이 사용된다. 따라서 차원해석은 교과서의 단위 맞추기 문제보다 실제 연구 설계에 더 가까운 도구라고 볼 수 있다.