공업수학 레포트 - 공업수학의 차원(dimension) 도구 중 한 가지를 선택하여 대상의 효과적 활용에 대한

I. 서론

유체역학 과제를 풀다가 항력식을 옮겨 적은 적이 있다. 속도 제곱이 들어가야 할 자리에 속도를 그대로 썼는데 계산기는 아무 불평도 하지 않았다. 숫자는 끝까지 나왔고 단위만 이상했다. 답지와 비교하기 전까지는 식 자체가 틀렸다는 사실을 알아차리지 못했다. 그때 차원은 부록처럼 붙는 단위가 아니라 식이 물리적으로 말이 되는지 묻는 문법이라는 생각이 들었다. 공업수학에서 내가 가장 실용성이 크다고 보는 차원 도구는 차원해석이다. 차원해석은 변수의 단위를 질량, 길이, 시간 같은 기본 차원으로 바꾸고, 방정식의 양변이 같은 차원을 갖는지 확인하며, 여러 변수를 무차원 조합으로 묶어 관계를 압축하는 방법이다. 미분방정식의 정확한 해를 주는 도구는 아니지만 문제를 풀기 전에 문제의 모양을 정리해 준다. 공학 계산에서 이 사전 정리가 생각보다 결과를 크게 바꾼다.

II. 본론

1) 단위를 지우면 드러나는 관계의 뼈대

차원해석의 출발점은 물리식이 단위계가 달라져도 같은 현상을 설명해야 한다는 요구다. 길이 값을 m로 쓰다가 cm로 바꿨다고 자연법칙이 달라질 수는 없다. 따라서 덧셈과 뺄셈으로 묶인 항들은 같은 차원을 가져야 한다. 속도는 길이 값을 시간으로 나눈 차원이고, 가속도는 길이 값을 시간의 제곱으로 나눈 차원이다. 힘은 질량과 가속도의 곱이므로 질량·길이·시간의 조합으로 표현된다. 복잡한 식도 기본 차원으로 풀어 쓰면 서로 다른 성격의 항이 잘못 더해졌는지 금방 확인할 수 있다. 이 성질은 계산의 정답을 보증하지는 않지만 오답의 넓은 범위를 아주 싼 비용으로 걸러낸다.

간단한 예로 자유낙하 거리를 생각할 수 있다. 거리 s가 중력가속도 g와 시간 t에만 의존한다고 놓으면 s의 차원은 길이, g는 길이/시간 제곱, t는 시간이다. s가 g의 a제곱과 t의 b제곱에 비례한다고 쓰면 길이 차원은 길이의 a제곱과 시간의 -2a+b제곱으로 바뀐다. 길이 지수는 a=1이어야 하고 시간 지수는 -2+b=0이어야 하므로 b=2가 된다. 차원만으로 s가 g와 t의 제곱에 비례한다는 골격을 얻는다. 다만 앞에 붙는 1/2 같은 무차원 상수는 알 수 없다. 나는 이 한계가 오히려 차원해석의 성격을 잘 드러낸다고 본다. 이 방법은 물리 법칙을 새로 만드는 마법이 아니라 가능한 식의 형태를 강하게 좁혀 주는 필터다.

진자의 주기에서도 같은 장점이 나타난다. 작은 각도로 흔들리는 단진자의 주기 T가 줄 길이 L과 중력가속도 g에 주로 좌우된다고 두면 차원 관계만으로 T가 L의 제곱근에 비례하고 g의 제곱근에 반비례한다는 꼴을 얻을 수 있다. 정확한 계수 2π는 운동방정식을 풀어야 나온다. 그래도 계산을 시작하기 전에 주기가 줄 길이에 정비례한다고 잘못 생각하는 오류를 막을 수 있다. 길이 값을 4배로 늘렸을 때 주기가 4배가 아니라 2배 수준으로 변해야 한다는 감도도 바로 생긴다. 공학에서 이런 감도는 숫자 하나보다 더 유용할 때가 있다. 설계 변수를 조금 바꿨을 때 결과가 어떤 방향과 규모로 움직일지 미리 짐작하게 해 주기 때문이다.