공업수학 레포트 - 공업수학의 여러 도구(차원 등) 중 한 가지를 선택하여 그 효과적 활용 방안을 장점과 근거,

I. 서론

공업수학 문제를 풀다가 답의 숫자는 그럴듯한데 단위가 이상했던 적이 있다. 속도를 구했는데 결과 단위가 제곱미터로 남았다. 계산기를 다시 두드리기 전에 식 자체를 보니 길이와 시간이 섞이는 단계에서 항 하나를 잘못 곱한 것이 원인이었다. 그 뒤로 단위를 끝에 붙이는 장식처럼 보지 않게 되었다. 차원해석은 복잡한 미분방정식을 직접 푸는 도구처럼 화려하지 않지만 식이 물리적으로 가능한지 확인하고 실험 변수를 줄이며 서로 다른 크기의 시스템을 비교하게 한다. 특히 공학에서는 완전한 해를 구하기 어려운 문제가 많기 때문에 차원해석을 계산 전후에 습관처럼 쓰는 방식이 매우 실용적이라고 생각한다.

II. 본론

1) 단위를 확인하는 습관에서 시작하는 차원해석

차원은 물리량이 어떤 기본 성격을 가지는지 나타낸다. 길이는 L, 질량은 M, 시간은 T처럼 표시할 수 있고 속도는 L/T, 가속도는 L/T의 제곱으로 쓸 수 있다. 힘은 질량과 가속도의 곱이므로 M L/T의 제곱이 된다. 단위는 미터나 초처럼 측정 체계의 표현이고 차원은 그 단위가 바뀌어도 남는 물리적 성격이다. 미터를 피트로 바꿔도 길이라는 차원은 달라지지 않는다. 이 구분을 이해하면 식이 특정 단위계에 묶이지 않고 성립해야 한다는 점을 알 수 있다.

차원 동차성은 식의 각 항이 같은 차원을 가져야 한다는 원칙이다. 위치를 나타내는 식에서 한 항이 길이이고 다른 항이 속도라면 그대로 더할 수 없다. 길이에 길이는 더할 수 있지만 길이와 초를 더할 수 없는 것과 같다. 이 원칙은 아주 기초적이지만 오류를 빠르게 찾는다. 공학 계산에서는 수치가 여러 단계로 전달되기 때문에 초기에 생긴 단위 실수가 뒤에서 큰 오차가 될 수 있다. 계산 결과가 맞는지 전부 다시 풀기 전에 양변 차원을 확인하면 적어도 물리적으로 불가능한 식은 걸러낼 수 있다.

차원해석의 장점은 단위 변환에서도 드러난다. SI 단위와 다른 단위가 섞인 자료를 사용할 때 숫자만 바꾸면 실수가 생기기 쉽다. 압력, 점도, 에너지처럼 유도단위가 많은 분야에서는 각 양을 기본 차원으로 풀어 보면 무엇을 곱하거나 나누어야 하는지 분명해진다. 나는 열전달 문제에서 밀리미터를 미터로 바꾸지 않고 계산해 열유속이 크게 틀어진 적이 있다. 그 뒤 식을 적을 때 변수 옆에 차원을 작은 메모로 붙였더니 비슷한 오류가 줄었다. 차원해석은 어려운 공식보다 먼저 쓰는 안전장치에 가깝다.

물론 차원이 맞는다고 식이 반드시 옳은 것은 아니다. 길이 차원을 가진 여러 식이 모두 실제 운동을 설명하는 것은 아니기 때문이다. 상수 계수나 더하기 방식이 잘못되어도 차원은 맞을 수 있다. 차원해석은 정답을 보증하는 검사가 아니라 틀린 식의 일부를 빨리 걸러내는 검사다. 이 한계를 분명히 해야 도구를 과신하지 않는다. 계산 검산에서 차원이 맞으면 "통과"가 아니라 "적어도 단위 구조는 이상하지 않다"고 받아들이는 태도가 적절하다.

2) 버킹엄 파이 정리로 줄이는 변수와 실험 규모