공업수학 레포트 - 공업수학에서 다루는 차원(dimension) 분석 도구 중 하나를 선택하여, 이를 대상에 적용했을

I. 서론

실험실에서 투명 아크릴 관에 물을 흘려보내며 압력 차를 측정했을 때 가장 난감했던 것은 값이 너무 많다는 점이었다. 관의 지름을 바꾸면 압력 차가 달라지고, 유량을 바꾸면 또 달라졌다. 물의 온도가 조금 달라져 점성이 변하면 결과가 다시 흔들렸다. 각 변수를 따로 그래프로 그리다 보니 실험은 끝났는데 무엇을 얻었는지 선명하지 않았다. 공업수학의 차원해석은 이런 상황에서 계산을 더 복잡하게 만드는 기술이 아니라, 복잡한 물리 문제를 몇 개의 관계로 줄이는 기술에 가깝다. 여기서는 버킹엄 파이 정리를 배관 유동의 압력손실 문제에 적용해 활용 방법과 장점을 설명한다.

II. 본론

1) 배관 유동을 줄여 읽는 버킹엄 파이 정리

버킹엄 파이 정리는 물리 현상을 설명하는 변수의 수가 많을 때 서로 독립인 무차원 조합으로 바꾸는 방법이다. 어떤 현상에 n개의 차원이 있는 변수가 있고 그 변수들이 r개의 기본 차원으로 표현된다면, 독립적인 무차원 항의 수는 보통 n-r개가 된다. 질량 M, 길이 L, 시간 T가 기본 차원인 유체 문제라면 여러 변수를 세 가지 기본 차원으로 정리한 뒤 무차원 항을 만들 수 있다. MIT의 유체역학 공개강의도 버킹엄 파이 정리를 차원해석의 핵심 도구로 다루고 있으며, 유체역학에서는 실험과 상사 문제를 정리하는 표준 방법으로 쓰인다.

배관에서 일정한 길이 구간의 압력손실을 생각해 볼 수 있다. 관심 있는 값은 압력 차 Δp이고, 여기에 영향을 주는 변수로 평균 유속 V, 관 지름 D, 관 길이 L, 유체 밀도 ρ, 동점성계수가 아니라 동적 점도 μ, 관 내부의 거칠기 ε를 선택할 수 있다. 압력 차의 차원은 M L^-1 T^-2이고 유속은 L T^-1, 지름과 길이와 거칠기는 L, 밀도는 M L^-3, 점도는 M L^-1 T^-1이다. 변수는 7개이고 기본 차원은 M, L, T의 3개이므로 원칙상 4개의 독립 무차원 항으로 줄일 수 있다.

반복변수로 ρ, V, D를 잡으면 질량, 길이, 시간의 차원을 모두 포함하면서 서로 독립인 조합을 만들기 좋다. 압력 차를 무차원화하면 Δp/(ρV²) 꼴이 나오고, 점도는 ρVD/μ 형태가 되어 익숙한 레이놀즈수가 된다. 관 길이는 L/D, 거칠기는 ε/D로 표현할 수 있다. 결국 압력손실 문제는 Δp/(ρV²)가 레이놀즈수, L/D, ε/D의 함수라는 형태로 줄어든다. 실제 배관 해석에서 쓰는 마찰계수와 다르시-바이스바흐 관계도 이런 무차원 사고와 잘 맞는다.

이 정리가 흥미로운 이유는 방정식의 정확한 함수 형태를 몰라도 문제의 구조를 상당히 좁혀 준다는 데 있다. 관 지름 20 mm와 40 mm를 쓴 실험 결과를 원래 단위 그대로 비교하면 서로 다른 두 실험처럼 느껴진다. 레이놀즈수와 상대거칠기 같은 무차원량을 사용하면 크기가 다른 관도 같은 물리 조건에 놓였는지 비교할 수 있다. 크기 자체보다 힘의 상대적 비중을 보는 셈이다.