경영통계학 레포트 - 이산확률분포를 정의하고, 이항분포, 포아송분포, 초기하분포의 특징을 예를 들어 비교하시오.

I. 서론

통계 문제를 풀다 보면 공식은 비슷하게 생겼는데 어떤 분포를 써야 하는지에서 막힐 때가 많다. 불량품 개수, 하루에 오는 문의 전화 수, 추첨에서 당첨표를 뽑는 횟수는 모두 0, 1, 2처럼 셀 수 있는 값이지만 확률이 만들어지는 과정은 같지 않다. 같은 "성공 횟수"라도 시행이 서로 독립인지, 모집단에서 뽑은 항목을 다시 넣는지, 일정 시간 안에서 발생한 사건 수를 세는지에 따라 적절한 분포가 달라진다. 이산확률분포를 이해할 때 공식부터 외우면 조건 하나를 놓치기 쉽다. 그래서 각 분포가 어떤 상황을 압축해서 표현하는지, 어떤 가정이 깨지면 다른 분포를 골라야 하는지를 사례와 함께 보는 편이 더 중요하다.

II. 본론

1) 셀 수 있는 결과를 확률로 배열하는 이산확률분포

확률변수는 확률실험의 결과에 숫자를 대응시킨 변수다. 그 가운데 가능한 값이 유한하거나 셀 수 있을 만큼 떨어져 있으면 이산확률변수라고 한다. 동전을 3번 던져 앞면이 나온 횟수는 0, 1, 2, 3 가운데 하나이므로 이산확률변수다. 하루 동안 도서관 안내데스크에 들어온 분실물 문의 건수도 0건, 1건, 2건처럼 정수로 센다. 반대로 한 학생의 키나 대기시간을 아주 세밀하게 측정하면 가능한 값 사이가 이어져 있으므로 연속확률변수로 다룬다. 이산확률분포는 이산확률변수가 가질 수 있는 각 값에 확률을 대응시킨 것이다. 각 확률은 0 이상이어야 하고 가능한 값들의 확률을 모두 더하면 1이 된다.

이산확률분포에서 평균은 보통의 산술평균과 조금 다르게 해석해야 한다. 확률변수의 각 값에 그 값이 나타날 확률을 곱해 모두 더한 기대값은 같은 실험을 아주 많이 반복했을 때 장기적으로 나타나는 평균 수준을 뜻한다. 예를 들어 어떤 게임의 보상이 0원 또는 10,000원이라면 기대값이 5,000원이라고 해서 한 번 게임했을 때 실제로 5,000원을 받는 것은 아니다. 가능한 결과와 확률을 묶어 장기 평균을 계산한 값이다. 분산은 결과가 기대값 주변에서 얼마나 흩어지는지를 나타낸다. 같은 기대값을 가진 두 분포라도 분산이 다르면 결과의 불확실성은 다르다.

분포를 고를 때는 확률변수의 값만 보면 부족하다. "몇 번 성공했는가"라는 질문이 나오면 이항분포가 떠오르지만, 표본을 뽑을 때 복원하지 않았다면 시행 간 성공확률이 달라져 초기하분포가 더 알맞을 수 있다. "한 시간에 몇 번 발생했는가"라는 표현은 포아송분포와 잘 맞지만 사건 발생률이 시간대별로 크게 변하거나 사건들이 서로 몰려서 일어난다면 기본 가정이 흔들린다. 분포 이름은 계산 공식이 아니라 현실 상황의 구조를 요약한 모형이라고 보는 편이 안전하다.

이산확률분포를 실제 자료에 적용할 때는 모형과 현실 사이에 틈이 있다는 점도 기억해야 한다. 동전이나 카드처럼 조건을 명확하게 만들 수 있는 실험은 수학적 가정을 비교적 잘 만족한다. 사람의 구매, 교통사고, 전화 문의 같은 사회 현상은 시간, 장소, 사람의 행동에 영향을 받기 때문에 독립성이나 일정한 발생률이 완벽하게 성립하지 않을 수 있다. 통계학에서는 현실을 그대로 복사하기보다 문제를 풀 만큼 중요한 구조를 남겨 모형을 만든다. 그래서 분포의 조건을 확인하는 일이 계산만큼 중요하다.