확률과 통계 레포트 - 통계적 추정의 개념과 방법에 대해 설명하시오.

I. 서론

학교 축제에서 새로 만든 음료의 평균 만족도를 알고 싶다고 해도 방문객 모두에게 끝까지 설문을 받을 수는 없다. 먼저 나간 사람도 있고, 설문에 응하지 않는 사람도 있으며, 조사 자체가 끝없이 이어질 수도 있다. 그래서 일부 사람의 응답을 모아 전체 방문객의 반응을 짐작한다. 여기에는 늘 불편한 질문이 따라온다. 몇 사람의 답으로 전체를 말해도 되는가, 다른 사람을 뽑았다면 값이 달라지지 않는가, 어느 정도까지 믿을 만한가. 통계적 추정은 바로 이런 불확실성을 숨기지 않고 수치로 다루는 방법이다.

II. 본론

1) 전체를 다 보지 못할 때 표본이 맡는 역할

통계에서 관심을 두는 전체 집단을 모집단이라고 하고, 모집단에서 실제로 조사한 일부를 표본이라고 한다. 모집단의 평균, 분산, 비율처럼 알고 싶지만 직접 확인하기 어려운 값을 모수라고 부른다. 표본에서 계산한 평균이나 비율은 통계량이다. 통계적 추정은 표본 통계량을 이용해 모집단의 모수를 짐작하는 절차다. 예를 들어 전국 대학생의 하루 평균 통학 시간을 알고 싶다면 모든 대학생을 조사하기보다 표본을 뽑고 그들의 평균 통학 시간을 계산해 모집단 평균을 추정한다.

표본을 쓰는 이유는 현실의 제약 때문이다. 비용과 시간이 크고, 조사 대상이 매우 많거나 계속 변하는 모집단도 있다. 품질검사처럼 조사 과정에서 제품을 파손해야 하는 경우에는 전수조사가 오히려 불가능하다. 문제는 표본이 모집단을 잘 대표하지 못할 수 있다는 점이다. 특정 학과 학생만 조사하고 전체 대학생의 통학 시간을 말하면 거주 지역이나 수업 형태가 한쪽으로 치우칠 수 있다. 추정의 계산식보다 앞에 놓이는 조건은 표본을 어떻게 뽑았는가다. 무작위성이 약한 표본에서는 소수점까지 정교한 계산을 해도 결과의 의미가 약해진다.

같은 모집단에서 표본을 여러 번 뽑으면 표본평균은 매번 조금씩 달라진다. 이 변동을 표본오차라고 이해할 수 있다. 어느 한 표본이 틀렸다는 뜻이 아니라 표본을 쓰는 순간 자연스럽게 생기는 흔들림이다. 표본 크기가 커지면 대체로 표본평균의 흔들림은 줄어든다. 독립적으로 같은 분포에서 관측값을 뽑는 상황에서 표본평균의 표준편차는 모집단 표준편차를 표본 크기의 제곱근으로 나눈 값과 연결된다. 그래서 표본을 2배로 늘렸다고 오차가 절반으로 줄어드는 것은 아니고, 오차 폭을 크게 줄이려면 표본 수를 훨씬 많이 늘려야 한다.

표본분포는 추정의 바탕이다. 한 번 얻은 표본평균만 보는 대신 같은 크기의 표본을 반복해 뽑았다고 생각했을 때 표본평균들이 어떤 분포를 이루는지 생각한다. 실제로 모든 표본을 다시 뽑는다는 뜻은 아니다. 표본평균이라는 통계량이 얼마나 흔들리는지 확률적으로 설명하기 위한 틀이다. 모집단이 정규분포라면 표본평균의 분포도 정규분포가 되며, 모집단이 정규분포가 아니더라도 일정한 조건에서 표본 크기가 충분히 커지면 표본평균의 분포가 정규분포에 가까워지는 중심극한정리가 큰 역할을 한다.