확률과 통계 레포트 - 이산확률분포에 대해 요약하여 정리하시오.

I. 서론

버스를 기다리며 "10분 안에 몇 대가 올까"를 생각하거나 동전을 여러 번 던져 앞면이 몇 번 나올지 묻는 순간, 결과는 0, 1, 2처럼 하나씩 셀 수 있는 값으로 나타난다. 확률과 통계에서 이런 결과를 다루는 틀이 이산확률분포다. 처음 배울 때는 이항분포와 포아송분포의 공식을 외우는 단원처럼 느껴지기 쉽지만, 핵심은 공식보다 상황을 어떤 확률변수로 바꾸고 그 변수에 어떤 확률 구조가 맞는지 판단하는 데 있다. 같은 "횟수"라도 시행 횟수가 고정돼 있는지, 성공 확률이 일정한지, 복원추출인지, 시간 구간 안의 사건 발생을 세는지에 따라 분포가 달라진다.

II. 본론

1) 셀 수 있는 결과와 확률질량함수

확률변수는 우연한 실험 결과를 숫자로 대응시킨 변수다. 이산확률변수는 가능한 값들이 유한하거나 자연수처럼 하나씩 셀 수 있다. 동전 3번을 던져 나온 앞면의 개수는 0, 1, 2, 3 가운데 하나이고, 하루 동안 특정 창구에 접수되는 민원 건수는 0부터 시작하는 정수값을 가진다. 가능한 값이 셀 수 있다는 점이 연속확률변수와 구별되는 핵심이다. 사람의 키나 물의 온도처럼 일정 구간에서 이론상 무수히 많은 실수값을 가질 수 있는 변수는 연속형으로 다룬다.

이산확률변수 X가 값 x를 가질 확률을 정리한 함수가 확률질량함수다. 흔히 P(X=x)로 적는다. 모든 가능한 x에 붙은 확률은 0 이상이어야 하고, 전체 확률을 더하면 1이 되어야 한다. 동전이 공정하고 1번 던질 때 앞면을 1, 뒷면을 0으로 두면 P(X=1)=0.5, P(X=0)=0.5다. 동전을 2번 던져 앞면 수를 X로 두면 가능한 값은 0, 1, 2이고 확률은 각각 0.25, 0.5, 0.25가 된다. 표로 적을 수 있는 작은 예부터 시작하면 확률질량함수가 "각 값에 확률을 붙인 지도"라는 의미가 잘 드러난다.

누적분포함수는 어떤 값 이하가 나올 확률을 나타낸다. F(x)=P(X≤x)로 쓴다. 이산변수에서는 가능한 값이 나타나는 지점마다 누적확률이 계단처럼 올라간다. 예를 들어 앞면 수 X가 0, 1, 2만 가능하다면 0보다 작은 구간의 누적확률은 0이고, x가 0에 도달하면 P(X=0)만큼 올라가며, 1에 도달하면 P(X=1)이 더해진다. 누적분포함수는 "정확히 2가 나올 확률"보다 "2 이하일 확률"이나 "적어도 3일 확률"을 계산할 때 편리하다. 적어도 3일 확률은 1에서 2 이하의 누적확률을 빼는 방식으로 구할 수 있다.

이산확률분포를 만들 때 가장 먼저 해야 할 일은 표본공간과 확률변수를 구분하는 것이다. 주사위 2개를 던지면 실제 결과는 두 눈의 순서쌍이지만 관심 있는 변수를 눈의 합으로 정하면 X는 2부터 12까지의 값을 가진다. 합이 7인 경우는 여러 순서쌍에서 나오므로 각 합의 확률은 같지 않다. 가능한 값이 11개라고 해서 각 값에 1/11을 배정하면 틀린다. 확률변수의 값이 어떤 원래 결과들에서 만들어지는지 살펴야 확률질량함수를 정확히 구할 수 있다. 이 구분은 이후 이항분포나 초기하분포의 조건을 확인할 때도 중요하다.

2) 기대값과 분산으로 읽는 분포의 모양