확률과 통계 레포트 - 경우의 수의 개념과 계산 방법에 대해 설명하시오.

I. 서론

카페에서 음료를 고를 때는 별 고민 없이 메뉴판을 훑지만, 선택 가능한 주문 방법을 전부 세라고 하면 갑자기 머리가 복잡해진다. 커피 3종과 차 2종 중 하나만 고르는 상황, 음료 하나와 디저트 하나를 함께 고르는 상황, 5명이 앉을 자리를 정하는 상황은 겉으로는 모두 선택 문제처럼 느껴진다. 그런데 계산 방식은 서로 다르다. 경우의 수는 이 차이를 구별하는 데서 시작한다. 공식을 외우는 과목처럼 접근하면 비슷한 문제에서 자주 막히지만, 어떤 선택이 서로 겹치는지, 선택이 이어지는지, 순서가 결과를 바꾸는지를 따져 보면 계산의 이유가 드러난다.

II. 본론

1) 빠짐없이 세고 겹치지 않게 세는 출발점

경우의 수는 어떤 사건이나 선택에서 가능한 결과의 개수를 뜻한다. 핵심은 가능한 결과를 빠짐없이 포함하면서 같은 결과를 두 번 세지 않는 데 있다. 동전 1개를 던지면 앞면과 뒷면이라는 2개의 결과가 있고, 주사위 1개를 던지면 1부터 6까지 6개의 결과가 있다. 여기까지는 눈으로 세어도 어렵지 않다. 문제는 조건이 붙을 때다. 예를 들어 숫자 1, 2, 3으로 만들 수 있는 두 자리 자연수를 세는데 같은 숫자를 다시 써도 된다고 하면 십의 자리와 일의 자리에 각각 3개의 선택이 있다. 같은 숫자를 두 번 쓸 수 없다고 바뀌면 십의 자리에서 하나를 고른 뒤 일의 자리 선택은 2개만 남는다. 문장 한 줄의 조건이 계산 전체를 바꾼다.

경우를 세는 가장 안전한 출발은 결과를 작은 문제로 줄여 직접 적어 보는 것이다. 수형도나 표를 쓰면 특히 유용하다. 예를 들어 상의가 흰색과 검은색, 하의가 청바지와 면바지라면 흰색 상의에서 가능한 하의 2가지와 검은색 상의에서 가능한 하의 2가지를 가지처럼 뻗을 수 있다. 결과는 4가지다. 숫자가 작을 때 이런 그림을 그려 보면 곱셈이 왜 등장하는지 눈에 들어온다. 선택 단계마다 갈라지는 가지의 수가 곱해지기 때문이다. 반대로 서로 동시에 일어날 수 없는 갈래를 한데 모을 때는 각 갈래의 개수를 더한다. 공식을 외우기 전에 구조를 그려 보는 습관이 실수를 줄인다.

중복 여부도 빠뜨리기 쉬운 조건이다. 학생 4명 가운데 대표 2명을 뽑는 문제에서 민수와 지연을 뽑은 결과와 지연과 민수를 뽑은 결과는 같다. 대표라는 역할에 순서가 없기 때문이다. 반면 회장과 부회장을 뽑으면 민수가 회장이고 지연이 부회장인 결과와 역할이 뒤바뀐 결과는 서로 다르다. 같은 2명을 고르는 문제라도 역할이 붙는 순간 결과를 구별해야 한다. 문제를 읽을 때 사람 이름이나 숫자보다 결과가 무엇인지 먼저 적어 두면 이런 차이가 잘 드러난다.

경우의 수를 셀 때 조건을 나누는 방식도 중요하다. 세 자리 자연수 가운데 짝수의 개수를 구하는 상황을 생각할 수 있다. 일의 자리는 짝수가 되어야 하므로 가능한 숫자를 먼저 제한할 수 있다. 맨 앞자리에 0이 올 수 없는 조건도 동시에 챙겨야 한다. 조건이 여러 개일수록 한 번에 머릿속에서 처리하려 하기보다 조건이 강한 자리부터 정하는 편이 편하다. 나는 비슷한 문제를 풀 때 처음에는 왼쪽 자리부터 기계적으로 채웠다가 0 처리에서 자주 틀렸다. 일의 자리 조건이 더 강하다는 사실을 알고 나서는 문제를 읽고 어떤 자리가 선택 폭을 가장 많이 줄이는지 먼저 표시하게 되었다.