사회통계 레포트 - 확률변수와 결합확률분포, 이산확률분포의 개념을 정의하고 설명하시오.

I. 서론

동전을 세 번 던졌을 때 앞면과 뒷면이 어떤 순서로 나오는지는 결과를 그대로 적기만 해도 구별할 수 있다. 그런데 관심이 "앞면이 몇 번 나왔는가"로 바뀌는 순간 이야기가 달라진다. HHT와 HTH는 서로 다른 결과지만 앞면의 개수라는 기준에서는 모두 2가 된다. 확률을 실제 자료 분석에 쓰려면 이렇게 복잡한 결과를 분석 가능한 숫자로 옮기는 장치가 필요하다. 사회통계 수업에서 확률변수를 배우며 가장 크게 달라진 점도 여기에 있었다. 확률변수는 낯선 기호가 붙은 계산 대상이라기보다, 현실의 불확실한 사건에서 무엇을 숫자로 기록할지 정하는 약속에 가깝다.

통계에서 한 변수만 보는 상황은 오히려 드물다. 하루 공부 시간과 퀴즈 점수, 결석 횟수와 과제 제출 횟수처럼 관심 있는 현상들은 서로 짝을 이루는 일이 많다. 그래서 확률변수의 개념을 이해한 뒤에는 두 변수의 가능성을 한꺼번에 다루는 결합확률분포가 필요해진다. 또 관찰값이 사람 수나 발생 횟수처럼 셀 수 있는 값이라면 이산확률분포가 분석의 기본 틀이 된다. 세 개념은 따로 외우면 공식 묶음처럼 느껴지지만, 실제로는 "무엇을 숫자로 볼 것인가", "두 숫자가 어떤 관계로 변하는가", "그 숫자에 어떤 확률 모형을 붙일 것인가"라는 하나의 흐름으로 연결된다.

II. 본론

1) 표본공간을 숫자로 바꾸는 확률변수의 역할

확률변수는 확률실험의 각 결과에 실수 값을 대응시키는 함수다. 여기서 확률실험은 결과를 미리 확정할 수 없지만 가능한 결과의 범위를 생각할 수 있는 시행을 뜻한다. 주사위를 던지는 일, 정해진 시간에 도서관으로 들어오는 학생 수를 세는 일, 설문에서 특정 선택지를 고른 사람 수를 기록하는 일도 같은 틀에서 볼 수 있다. 가능한 결과 전체를 표본공간이라 하고, 확률변수는 그 표본공간을 숫자로 번역한다. 주사위 눈 자체를 X로 잡으면 X는 1부터 6까지의 값을 갖는다. 반면 "4 이상이 나왔는가"에 관심을 두고 나오면 1, 아니면 0을 주도록 정하면 같은 주사위 실험에서도 전혀 다른 확률변수가 만들어진다. 그래서 확률변수는 사건에 이미 붙어 있는 숫자를 발견하는 것이 아니라 연구 목적에 맞게 무엇을 측정할지 정하는 선택이기도 하다.

확률변수를 대문자 X로 적고 실제로 관찰된 값을 소문자 x로 적는 관습은 한동안 사소하게 느껴졌지만 의미가 분명하다. X는 아직 결과가 정해지지 않은 규칙이고 x는 시행 뒤에 확인된 구체적 값이다. 예를 들어 다음 수업에서 지각한 학생 수를 X라고 하면 수업이 시작되기 전에는 X가 몇인지 모른다. 수업 뒤 4명이 지각했다면 관찰된 값은 x=4다. 통계가 불확실성을 다룬다는 말은 바로 이 구분에서 드러난다. 값이 확정되기 전에는 가능한 값마다 확률이 있고, 관찰 뒤에는 그중 하나가 현실이 된다. 확률분포는 그 가능한 값들과 확률을 한데 묶은 설명이다.