제어공학 레포트 - 라플라스 변환의 성질을 5가지 이상 서술하고 설명하시오.

I. 서론

제어공학 문제를 풀다가 미분방정식이 길어지면 계산보다 식을 정리하는 데 더 많은 시간을 쓰게 된다. 입력이 계단함수로 바뀌고 초기조건까지 붙으면 시간영역의 식은 금세 복잡해진다. 라플라스 변환을 배우고 나서 가장 달라진 점은 미분방정식이 대수식으로 바뀐다는 사실보다, 같은 성질 몇 가지를 익혀 두면 긴 계산을 짧은 규칙으로 처리할 수 있다는 점이었다. 공식만 외우면 비슷해 보이는 식에서 부호나 초기값을 놓치기 쉽지만 각 성질이 시간영역의 어떤 변화를 s영역에서 어떻게 바꾸는지 연결하면 기억도 오래간다.

라플라스 변환은 시간 t의 함수 f(t)를 복소변수 s의 함수 F(s)로 옮기는 도구다. 공학에서 주로 사용하는 일방 라플라스 변환은 t가 0 이상인 구간을 대상으로 하며 L{f(t)} = F(s)라고 쓴다. 제어계에서는 전달함수, 과도응답, 안정성 해석과 이어지기 때문에 변환의 성질을 계산 규칙으로만 두기 어렵다. 선형성, 이동, 미분, 적분, 컨벌루션, 초기값 정리와 최종값 정리는 서로 다른 모양을 가진 성질이지만 모두 시간영역에서 복잡한 연산을 s영역의 비교적 다루기 쉬운 형태로 바꾸는 데 쓰인다.

II. 본론

1) 선형성과 이동 성질이 만드는 계산의 지름길

선형성은 라플라스 변환에서 가장 자주 쓰이는 성질이다. f(t)의 변환이 F(s), g(t)의 변환이 G(s)이고 a와 b가 상수라면 L{a f(t) + b g(t)} = aF(s) + bG(s)가 성립한다. 시간함수가 여러 항의 합으로 되어 있어도 항별로 변환한 뒤 계수를 그대로 붙여 더할 수 있다는 뜻이다. 예를 들어 3t + 2라는 함수는 3t와 상수 2를 따로 변환해 합칠 수 있다. 복잡한 입력 신호를 기본 함수의 합으로 나눠 계산하는 방식도 이 성질에 기대고 있다.

선형성은 제어계가 선형 시스템이라는 가정과도 잘 맞는다. 입력이 여러 개의 기본 신호로 나뉠 때 각 입력에 대한 응답을 구하고 합하면 전체 응답을 얻을 수 있다는 중첩 원리와 같은 방향을 가진다. 물론 라플라스 변환이 선형이라는 사실과 실제 물리 시스템이 선형이라는 사실은 구별해야 한다. 마찰이나 포화처럼 비선형 요소가 크게 작용하는 시스템은 전달함수만으로 모든 거동을 설명하기 어렵다. 그래도 동작점 부근에서 선형화한 모델을 다루는 과정에서는 선형성이 계산의 기본 뼈대가 된다.

시간 지연 성질은 입력이 일정 시간 늦게 들어오는 상황을 표현할 때 유용하다. f(t)의 변환이 F(s)일 때 f(t-a)u(t-a)의 변환은 e^(-as)F(s)가 된다. 여기서 u(t-a)는 t=a 이후에 신호가 시작된다는 뜻의 단위계단함수다. 시간영역에서 신호가 a만큼 오른쪽으로 이동하면 s영역에서는 e^(-as)가 곱해진다. 센서 신호 전달이나 통신, 공정 수송에서 지연이 있을 때 이 항이 등장한다.