수학의 이해 레포트 - 피보나치 수열을 활용한 비율 계산에 대해 탐구하시오.

I. 서론

노트 한쪽에 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13을 적었을 때는 규칙이 너무 쉬워서 왜 유명한 수열인지 잘 이해되지 않았다. 앞의 두 수를 더하면 뒤의 수가 된다는 설명만 놓고 보면 초등학교 퍼즐처럼 느껴졌다. 흥미가 생긴 지점은 더하기가 아니라 나눗셈이었다. 13을 8로 나누고, 21을 13으로 나누고, 34를 21로 나누자 결과가 비슷한 값 주변으로 모였다. 피보나치 수열을 비율 계산에 쓰는 핵심은 큰 수를 만드는 데 있지 않고 이웃한 항의 관계가 점점 일정해지는 데 있었다.

II. 본론

1) 두 이웃 항의 나눗셈에서 생기는 수

피보나치 수열은 앞의 두 항을 더해 새 항을 만드는 방식으로 이어진다. 1과 1에서 시작하면 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55처럼 진행된다. 수열의 항을 F라고 적으면 F(n)=F(n-1)+F(n-2)라는 관계로 표현할 수 있다. 기호가 들어가면 복잡해 보이지만 실제 계산은 "바로 앞 수와 그 앞 수를 더한다"는 뜻이다. 덧셈 규칙만 반복했는데도 항의 크기가 꽤 빠르게 커진다.

비율은 두 양의 상대적인 크기를 나타낸다. 피보나치 수열에서 자주 보는 비율은 연속한 두 항 가운데 뒤 항을 앞 항으로 나눈 값이다. 2를 1로 나누면 2, 3을 2로 나누면 1.5, 5를 3으로 나누면 약 1.6667이 된다. 8을 5로 나누면 1.6이고 13을 8로 나누면 1.625다. 값이 한 방향으로 곧장 움직이지 않고 위아래로 흔들린다는 점이 눈에 띈다.

계산을 더 이어 보면 21÷13은 약 1.6154, 34÷21은 약 1.6190, 55÷34는 약 1.6176이다. 흔들리는 폭이 점점 줄어들며 약 1.618 근처에 머문다. 수학에서는 연속한 피보나치 수의 비가 황금비로 수렴한다고 설명한다. 황금비는 보통 그리스 문자 파이로 나타내며 값은 약 1.6180339887이다. 양영오와 김태호의 피보나치 수열 연구에서도 연속한 두 항의 비율이 황금비로 수렴하는 성질을 다룬다.

직접 계산하면서 재미있었던 점은 분모와 분자가 모두 정수인데 결과가 정수가 아닌 일정한 무리수에 가까워진다는 사실이었다. 덧셈으로 만든 정수 수열 안에 나눗셈을 넣자 전혀 다른 모양의 규칙이 드러난다. 55와 34라는 숫자 자체에 황금비가 들어 있는 것은 아니다. 둘의 관계를 비율로 바라볼 때 약 1.6176이라는 값이 나오고, 더 뒤의 항을 쓰면 오차가 줄어든다. 수학에서는 같은 대상을 어떤 연산으로 보는지에 따라 발견되는 성질이 달라질 수 있다는 것을 보여주는 사례다.

반대 방향의 비율도 계산해 보았다. 앞 항을 뒤 항으로 나누면 5÷8은 0.625, 8÷13은 약 0.6154, 13÷21은 약 0.6190이 된다. 이 값들은 약 0.618에 가까워진다. 황금비의 역수와 황금비에서 1을 뺀 값이 같기 때문이다. 약 1.618과 약 0.618이 한 쌍처럼 나타나는 이유가 여기에 있다. 긴 변과 짧은 변의 비를 말할 때 어느 쪽을 분자로 놓는지 확인하지 않으면 같은 관계를 두고 서로 다른 숫자를 말하게 된다.