미분방정식론 레포트 - 일상생활에서 2계 선형상미분방정식이 적용되는 현상을 찾아 변수를 정의하고, 그 현상을

I. 서론

버스 뒷자리에 앉아 과속방지턱을 지날 때 차체가 한 번 아래로 눌렸다가 몇 번 흔들린 뒤 잦아드는 경험이 있다. 미분방정식 수업에서 2계 선형상미분방정식을 배울 때 가장 먼저 떠오른 장면도 그 흔들림이었다. 차가 딱딱하면 충격이 그대로 올라오고, 너무 물렁하면 한참 출렁인다. 그 차이점을 수식으로 옮기면 질량, 스프링, 감쇠라는 세 요소가 나타난다. 실제 자동차 현가장치는 구조가 훨씬 복잡하지만, 한 바퀴와 차체 일부의 수직 운동을 질량-스프링-댐퍼 계로 근사하면 2계 선형상미분방정식의 의미를 생활 장면과 연결할 수 있다. 나는 이 모델의 가치가 실제 차를 완벽히 복제하는 데 있다고 생각하지 않는다. 어떤 힘이 진동을 만들고 어떤 항이 흔들림을 감소시키는지 분리해 보면서 복잡한 현상에서 핵심 구조를 잡는 데 있다.

II. 본론

1) 버스가 과속방지턱을 지난 뒤 흔들리는 순간

차량이 평평한 도로를 달릴 때 차체의 수직 위치는 거의 일정하다. 과속방지턱을 만나 바퀴가 위로 밀리면 스프링이 압축되고 차체가 움직인다. 턱을 지난 뒤에도 차체가 바로 원래 위치로 멈추지 않는 이유는 관성 때문이다. 질량을 가진 물체는 움직이던 상태를 유지하려 하고, 스프링은 평형 위치로 되돌리는 힘을 낸다. 두 작용만 있다면 차체는 오랫동안 위아래로 진동할 수 있다. 실제 차량에는 쇼크 업소버가 있어 운동 속도에 비례하는 저항력을 만들고 진동 에너지를 소모한다. 이 세 힘의 관계가 전형적인 2계 선형 모형을 만든다.

모델을 세우기 위해 차체 전체를 다루지 않고 한 바퀴가 지지하는 차체 일부를 하나의 질량 m으로 본다. 차체의 평형 위치에서 위쪽을 양의 방향으로 정하고, 시간 t에서의 수직 변위를 x(t)로 둔다. 그러면 x'(t)는 수직 속도, x''(t)는 수직 가속도다. 스프링 상수 k는 변위에 비례해 복원력이 얼마나 커지는지를 나타내고, 감쇠계수 c는 속도에 비례하는 저항의 크기를 나타낸다. 외부에서 가해지는 수직 힘을 F(t)로 두면 뉴턴의 운동법칙에 따라 관성력과 감쇠력, 스프링력이 한 식에 들어간다.

가장 기본적인 식은 m x''(t) + c x'(t) + k x(t) = F(t)이다. m, c, k가 일정하다고 놓으면 계수가 상수인 2계 선형상미분방정식이 된다. x와 그 도함수가 모두 1차로만 나타나고 서로 곱해지지 않으므로 선형이다. 과속방지턱을 지난 직후 도로에서 추가 입력이 없다고 보면 F(t)=0으로 두어 자유진동을 살필 수 있다. 반대로 울퉁불퉁한 도로가 계속 힘을 준다고 보면 F(t)를 시간에 따라 변하는 외력으로 넣는다. 같은 구조의 방정식이 상황에 따라 동차식과 비동차식으로 바뀐다.