경영통계학 레포트 - 연속확률분포의 개념과 종류에 대해 요약하여 정리하시오.

I. 서론

통계 수업에서 처음 연속확률분포 그래프를 봤을 때 가장 이상했던 점은 그래프의 높이가 확률처럼 생겼는데 특정 한 점의 확률은 0이라고 말하는 부분이었다. 시험점수가 정확히 80.000점일 확률을 0이라고 하면서 79점에서 81점 사이 구간에는 확률이 있다고 하니 말장난처럼 들렸다. 연속형 확률변수는 가능한 값이 끊어지지 않고 이어져 있기 때문에 한 점보다 구간을 기준으로 생각해야 한다. 확률밀도함수 아래에서 구간이 차지하는 넓이가 확률이 된다. 이 감각을 잡으면 정규분포와 지수분포, t분포 같은 여러 분포가 따로 외워야 할 공식이 아니라 서로 다른 현실 상황을 수학적으로 표현하는 도구라는 점이 조금씩 정리된다.

II. 본론

1) 점이 아니라 구간의 넓이로 읽는 연속확률

확률변수는 우연한 결과를 숫자로 나타낸 것이다. 고객의 대기시간, 제품의 수명, 하루 매출액, 사람의 키처럼 이론상 일정 범위에서 연속된 값을 가질 수 있는 변수를 연속형 확률변수라고 한다. 연속확률분포는 그런 값들이 어느 구간에 나타날 가능성이 큰지 나타낸다. 이산확률변수에서는 동전을 3번 던져 앞면이 2번 나올 확률처럼 특정 값에 확률을 직접 붙인다. 연속형에서는 가능한 값이 무한히 많기 때문에 특정 한 점의 확률을 따로 부여하는 방식이 맞지 않는다.

연속확률분포를 나타내는 핵심 함수가 확률밀도함수다. 확률밀도함수 값은 음수가 될 수 없고 전체 범위 아래 면적은 1이 된다. 구간 a에서 b 사이에 확률변수 X가 들어갈 확률은 그 구간의 확률밀도함수 아래 넓이로 계산한다. 특정 값 X=a의 확률은 0이므로 P(a<X<b)와 P(a≤X≤b)는 같은 값을 가진다. 경계점 하나를 포함하느냐가 면적을 바꾸지 않기 때문이다. 밀도함수의 높이가 1보다 큰 경우도 가능하다. 확률은 높이가 아니라 넓이이며 전체 넓이만 1이면 된다.

누적분포함수는 X가 어떤 값 x보다 작거나 같을 확률을 나타낸다. x가 커질수록 누적확률은 줄어들지 않고 0에서 1 쪽으로 올라간다. 실제 계산에서는 '대기시간이 5분 이하일 확률', '수명이 1,000시간을 넘을 확률'처럼 누적확률 형태의 질문이 많다. 밀도함수는 분포의 모양을 직관적으로 이해하게 하고 누적분포함수는 구간확률 계산에 편리하다. 통계 소프트웨어가 주는 p값과 분위수도 누적분포 개념과 연결된다.

연속분포를 설명할 때 평균과 분산도 중요하다. 평균은 분포의 중심 위치를 나타내고 분산과 표준편차는 값이 중심에서 얼마나 퍼져 있는지 나타낸다. 같은 평균을 가진 두 분포라도 분산이 다르면 그래프의 폭과 꼬리 모양이 달라진다. 경영자료에서는 평균만 보면 위험을 놓칠 수 있다. 평균 배송시간이 같은 두 물류서비스 중 한쪽의 분산이 훨씬 크다면 고객 경험은 더 불안정할 수 있다. 분포를 본다는 말은 대표값 하나가 아니라 값이 흩어진 모양까지 본다는 뜻이다.